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第3章 结构动力学

发布时间:

研究对象

? 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。

本章重点

? 多自由度体系的自振频 率、振型及在简谐荷载 作用下的动力响应。

结构力学 II

结构力学 II

1

§3.1 多自由度体系的振动
§3.2 主振型的正交性 §3.3 自由振动的通解 §3.4 能量法计算自振频率 * 题 训 练

2
3 4 4

§3.5 对称性利用

§3.1 多自由度体系的自由振动
1. 运动微分方程式的建立及求解 2. 振型向量的概念 ; 3. 自由振动频率和振型计算示例 ;

1. 动力微分方程的建立及求解
一、刚度法
刚度法:由各质点力的*衡条件建立运动微分方程;
按照位移法的概念求解:
a. 对体系所有的独立位移
1 2 3 n

都施加相应的约束;

b. 依次给约束施加单位位 移求刚度系数。

1
K21 K31 Kn1 K11

如质点1受力: 惯性力: ? m1??1 y 各约束的反力: k1i yi

1
K12 K22 K32 Kn2

(

约束是虚设的,反力之和应为零。质点1的*衡方程式为:

m1??1 ? k11 y1 ? k12 y2 ? ? ? k1n yn ? 0 y

一、刚度法
同理,体系中的每一个质点都可以列出相应的动力*衡方程 式,即可得到刚度法描述的自由振动微分方程:

m1??1 ? k11 y1 ? k12 y2 ? ? ? k1n yn ? 0 ? y m2 ??2 ? k21 y1 ? k22 y2 ? ? ? k2n yn ? 0 ? y ? ?????????????? ? ? mn ??n ? kn1 y1 ? kn2 y2 ? ? ? knn yn ? 0 ? y ?
写成矩阵形式为:
?m1 ? ? ? ? ?0 m2 0? ? ? ? ? ? mn ? y ? ??1 ? ? k11 ? ?? ? ?k ? y 2 ? ? 21 ? ?? ? ? ? ?? ? ??n ? ?k n1 ?y ? ? k12 k 22 ? kn2 ? k1n ? ? k 2n ? ? ? ?? ? ? k nn ? ? y1 ? ?y ? ? 2? ? ? ? 0 ??? ? yn ? ? ?

也可以写成:

? MY? ? KY ? 0

一、刚度法
设微分方程式的特解为: 各质点按同一频率同一位相 作简谐振动。可写成 :
? y1 ? ? X (1) ? ?y ? ? X (2)? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( t ? ? ) ?? ? ? ? ? ? yn ? ? X (n)? ? ? ? ?

Y ? X sin( t ? ? ) ?

X 称为体系的振幅向量:
ω—体系自由振动时的圆频率,简称为频率或自振频率。
?m1 ? ? ? ? ?0 0? ? ? ? ? ? mn ? y ? ??1 ? ? k11 ? ?? ? ?k ? y 2 ? ? 21 ? ?? ? ? ? ?? ? ??n ? ?k n1 ?y ? ? k12 k 22 ? kn2 ? k1n ? ? k 2n ? ? ? ?? ? ? k nn ? ? y1 ? ?y ? ? 2? ? ? ? 0 ??? ? yn ? ? ?

m2

? MY? ? KY ? 0

方程特解:

? MY? ? KY ? 0 将Y 代入方程 : 即: ? ? 2MX sin( t ? ? ) ? KX sin( t ? ? ) ? 0 ? ? 则: (K ? ? 2M )X ? 0
这是一组X的线性齐次方程式组。欲使振幅向量X存在非零 解,即体系发生振动,则必须有: K ? ? 2 M ? 0 这个方程称为频率方程,未知量为频率ω。将上式展开为:

? y1 ? ? X (1) ? ?y ? ? X (2)? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( t ? ? ) ?? ? ? ? ? ? yn ? ? X (n)? ? ? ? ?

? 即 :Y ? X sin( t ? ? )

?k11 ?k21 ?? ?kn1 ?

k12 k22 ? kn2

? ? ? ?

0? k1n ? ?m1 m2 ? k21? ? ? 2? ?0 ? ? ? ?? ?0 knn? mn? ? ? ?

方程特解:

? MY? ? KY ? 0 将Y 代入方程 : 即: ? ? 2MX sin( t ? ? ) ? KX sin( t ? ? ) ? 0 ? ? 则: (K ? ? 2M )X ? 0
这是一组X的线性齐次方程式组。欲使振幅向量X存在非零 解,即体系发生振动,则必须有: K ? ? 2M ? 0 这个方程称为频率方程,未知量为频率ω。将上式展开为: (k11 ? ? 2 m1 ) k12 ? k1n k 21 (k11 ? ? 2 m2 ) ? k 21
? k n1 ? k n2 ? ? ? 0 ? (k11 ? ? 2 mn )
返回

? y1 ? ? X (1) ? ?y ? ? X (2)? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( t ? ? ) ?? ? ? ? ? ? yn ? ? X (n)? ? ? ? ?

? 即 :Y ? X sin( t ? ? )

由此可以求出n个自由振动频率。按其数值由小到大排列为 ω1ω2…ωn。其中最小频率称为基本频率。

二、柔度法
柔度法:由各质点运动的位移协调条件建立微分方程; ?m1 ??1 ?m2 ??2 ?m3 ??3 y y y 按照力法的概念求解: ?m ?? y n
1 2 3

a. 确定体系的振动自

n n

由度;

b. 依次给质点施加单 位力求柔度系数。
如质点受力: y 惯性力: ? mi ??i

f

11

f

21

f

31

f

n1

1
f
12

f

22

f

32

f

n2

1

y y i点位移: yi ? ? fi1m ?? ? fi2m2 ??2 ? ? ? finmn ??n 1y 1
即:

fi1m ?? ? fi2m2 ??2 ? ? ? finmn ??n ? yi ? 0 y y 1y 1

二、柔度法
同理,体系中的每一个质点都可以列出相应的方程式,即可 得到柔度法描述的自由振动微分方程: f11 m1 ??1 ? f12 m2 ??2 ? ? ? ? f1n mn ??n ? y1 ? 0 y y y f 21 m1 ??1 ? f 22 m2 ??2 ? ? ? ? f 2 n mn ??n ? y 2 ? 0 y y y

??????????? f n1 m1 ??1 ? f n 2 m2 ??2 ? ? ? ? f nn mn ??n ? y n ? 0 y y y
写成矩阵形式为:
? f11 ?f ? 21 ?? ? ? f n1 f1n ? f 22 ? f1n ? ? ? ? ?? ? f n 2 ? f nn ? f12 ? 0 ? ? ??1 ? ?1 y 0 ? ? y1 ? ? m1 ? ? ? ?? ? ? 1 ??y ? m2 ? y2 ? ? ? ??? ? ? ? 2 ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 0 mn ? ? ??n ? ?0 y 1 ? ? yn ? ?

也可写成:

? FMY? ? I Y ? 0

二、柔度法
其中:F 称为体系的柔度矩阵,与刚度矩阵K互为逆矩阵; I——单位矩阵。 Y ? X sin( t ? ? ) ? 设微分方程式的特解为: 代入微分方程得:
1 ? ? ? FM ? 2 I ?X ? 0 ? ? ?

? f11 ? f 21 ?? ? f n1 ?

f12 f 22 ? fn2

? f1n ? ? m1 0 ? ? ??1 ? ?1 y 0 ? ? y1 ? ? f1n ? ? m2 y ? ? ??2 ? ? ? 1 ? ? y2 ? ? 0 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?y ? ? 1 ? ? yn ? mn ? ? ??n ? ?0 ? f nn ? ? 0 ? ? ?

即:

? FMY? ? I Y ? 0

二、柔度法
其中:F 称为体系的柔度矩阵,与刚度矩阵K互为逆矩阵; I——单位矩阵。 Y ? X sin( t ? ? ) ? 设微分方程式的特解为: 代入微分方程得:

方程有非0解X条件,系数行列式得值为0,即: FM ?
这就是柔度法表示的体系的频率方程,可展开为:
1 ? ? m1 f 11 ? 2 ? ? ? ? ? m1 f 21 ? m1 f n1 m2 f 12 ? mn f 1n mn f 2 n ? 1 ? ? m 2 f 22 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? m2 f 2 n

1 ? ? ? FM ? 2 I ?X ? 0 ? ? ?

1

?

2

I ? 0

? 0

由频率方程可解出n个自由振动频率ω1ω2…ωn 。

1 ? ? ? ? mn f nn ? 2 ? ? ? ?
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2.振型向量的概念
((K ? ? 2M )) ? 0 K ?? M X 0
2

?

? F M ? 1 I ?? ? 0 1 ? ? ? FM ? 22 I ?X ? 0 ? ? ? ? ?

? ?

?

?

?

未知量: ω, X。 转化为求特征值的问题。括弧内方阵为特征 矩阵,ω为特征值,X 称为特征向量。 求解特征值的方法通常用迭代法。由频率方程求出每一个ω 后,逐个将它们代入上式,就会获得X的非零解。 方程的解X不唯一,有无穷解。在振动过程中,对于每一个 ω值,各质点振幅之间有一个固定的比例,即有一个确定的 振型,但只是无法确定各质点振幅的绝对值而已。 对于任一个频率ωi ,就有一个主振型向量Xi与之对应。一 般规定X中的某元素为1,这样振型就有了确定值,这样的 主振型向量称为标准化振型向量,用φ表示。φ是无穷多个 X中的其中之一。

? X (1) ? ? X (2)? X ?? ? ? ? ? ? X (n)?

?

? 1 ? ? ? ? X (2) ? ? X (1) ? ?? ? ? ? ? ? ? X (n) ? ? ? X (1) ?

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3.自由振动频率和振型计算
例 1. 悬臂梁上作用3个质量分别为 m1=m2=m, m3=0.5m 的 质点,梁的EI为常数,试求此体系的自振频率和振型。 [解] (1) 求频率
用柔度法。可分别在1、2、 3点作用单位力,画出弯 矩图,利用图乘法就可以 求出各柔度系数值fij。
4m m
1

m
2

0.5m
3

(a)

4m

4m

4
1 2 3

M1

8 f11 ? 64 , f22 ? 512 3EI 3EI f33 ? 1728 f23 ? f32 ? 896 3EI 3EI 12 f12 ? f21 ? 160 3EI f13 ? f31 ? 256 3EI

4

4
1 2 3

M2

8
1

4
2 3

M3

把求得的系数代入柔度法频率方程:
?? 64 ? m 256 m ? 12 ? m 160 ?? 3EI ? ? ? 3EI 2 3EI ? ? ? ? ? m 512 ? 1 ? 160 m 896 ? m ??0 ? 3EI 2? 3EI 2 3EI ? ? ? ? ? ? m 1728 ? 1 ?? ? m 256 m 896 ? 2 3EI 2? 3EI 3EI ? ? ?? ? ? ?

解上述方程可得:

?1 ? 0.0465 EI ,
m ?3 ? 0.653 EI m

?2 ? 0.264 EI
m

f11 ? 64 , f22 ? 512 3EI 3EI f33 ? 1728 f23 ? f32 ? 896 3EI 3EI f12 ? f21 ? 160 3EI f13 ? f31 ? 256 3EI

?m f ? 1 ? ? 1 11 2 ? ? ? ? m1 f21 ? m1 fn1

m2 f12

?

mn f1n

?m f ? 1 ? ? mn f2n ? 2 22 2 ? ?0 ? ? ? ? ? ? m2 f2n ? ? mn fnn ? 12 ? ? ? ? ? ?

(2)求振型: 由柔度法公式:

?F M ? 1 I ? ? ? ?2 ? ?

?

?0

展开得:

?? 64 ? m 256 m ? 12 ? m 160 ?? 3EI ? ? ?? 1 ? 3EI 2 3EI ? ? ? ? ?? ? ? ? m 512 ? 1 ? 160 m 896 ? m ??? (2)? ? 0 ? 3EI 2? 3EI 2 3EI ? ? ? ? ?? ? ? m 1728 ? 1 ???? (3)? ? m 256 m 896 ? ? 2 3EI 2? ? 3EI 3EI ? ? ? ?? ? ?

代入 ?1 ? 0.0465 EI
m

由上述方程的任意两式可解得:
?1 (3) ? 6.17
m

?1(2) ? 3.33

同样代入 ?2 ? 0.264 EI
?2(2) ? 1.001

可解得:

?2(3) ? ?1.405

同样代入 ?3 ? 0.654 EI
?3(2) ? ?0.716

可解得: m ?3(3) ? 0.45

则振型向量为:
? 1 ? ?1 ? ?3.33? ? ? ?6.17 ? ? ?

? 1 ? ?2 ? ? 1.001 ? ? ? ?? 1.405? ? ?

? 1 ? ?3 ? ?? 0.176? ? ? ? 0.45 ? ? ?

振型图如下:

代入 ?1 ? 0.0465 EI
m

由上述方程的任意两式可解得:
?1 (3) ? 6.17
m

?1(2) ? 3.33

同样代入 ?2 ? 0.264 EI
?2(2) ? 1.001

可解得:

?2(3) ? ?1.405

同样代入 ?3 ? 0.654 EI
?3(2) ? ?0.716

可解得: m ?3(3) ? 0.45

则振型向量为:
? 1 ? ?1 ? ?3.33? ? ? ?6.17 ? ? ?

? 1 ? ?2 ? ? 1.001 ? ? ? ?? 1.405? ? ?

? 1 ? ?3 ? ?? 0.176? ? ? ? 0.45 ? ? ?

振型图如下:
1

第一主振型
3.33 6.17

第二主振型
1 1.001 0.716 1
?

1.405

第三主振型
0.45

振型的动态显示
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例2. 单跨三层*面刚架如图所示,假定刚架的质量全部集中在各层 横梁上,m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的惯性矩。 I1=3.267 ?10-3m4, I2=2.61?10-3m4, I3=1.307?10-3m4,横梁I4=∞,材料弹性模 量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。
1

I3 I2 I1

m2 I4
4m

4m

m3 I4

m3
2

k 31
I3
1

k 32 k22 k12

k 33 k 23 k13

m2
2

k 21
I2

4m

m1 I4

m1
2

k11
1

I1

(c) (d) (e) 解: (1) 体系由3个自由度;采用刚度法计算。现计算刚度系数
12EI 12EI 6 k11 ? ? 3 1 ? 3 2 ? ? 2 ? 441? 10 N / m ? ? l ? ? l
12EI 12EI 6 k22 ? ? 3 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 294? 10 N / m ? ? l ? ? l

k33 ?

k13 ? k31 ? 0

12EI 3 6 ? 2 ? 98 ? 10 N / m 3 l

k12 ? k21 ?

k23 ? k32 ? ?

12EI 3 6 ? 2 ? ?98 ? 10 N / m 3 l

? 12EI 2 6 ? 2 ? ?196 ? 10 N / m 3 l

(2)求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程。
?k11 ? ?k21 ?k31 ?
98?10

k12 k22 k32
2

k13? ?m1 2 k23? ? ? ? 0 ?0 k33? ? ?
2

0 m2 0
6

0? 0? ?0 m3? ?
?2 0 ? ?45 ? 15? ? ?2 3 ? 15? ? 1 ? ? 0 ? 1 1 ? ?? ? ? ?0

令 ? ? 180 3 ? 则: K ? ? M ? 98 ? 10 方程的实根为:

?1 ? 0.3335 ?2 ? 1.6665 ?3 ? 4.0 , ,
?1

刚架的三个自振频率为:

?1 ? 13.47s

?2 ? 30.12s

?1

?3 ? 46.67s?1

12EI 12EI 6 k11 ? ? 3 1 ? 3 2 ? ? 2 ? 441? 10 N / m ? ? l ? ? l

12EI 12EI 6 k22 ? ? 3 2 ? 3 3 ? ? 2 ? 294? 10 N / m ? ? l ? ? l

k33 ?

k13 ? k31 ? 0

12EI 3 6 ? 2 ? 98 ? 10 N / m 3 l

k12 ? k21 ?

? 12EI 2 6 ? 2 ? ?196 ? 10 N / m 3 l

k23 ? k32 ? ?

12EI 3 6 ? 2 ? ?98 ? 10 N / m 3 l

(3)求振型 将计算的结果代入方程:

(K

?? M)
2

? ?0

(K

? ? M )?
2

?2 0 ??? (1) ? ?45 ? 15? ? ? ? 98 ? 10 ? ? 2 3 ? 15? ? 1 ??? (2)? ? 0 ? 0 ?1 1 ? ???? (3)? ? ? ??
6

将 ? ? 0.3335 代入上式,令?1(3)=1,展开任意两个 1 方程可解得: φ1(1)=0.3332 , φ1(2)=0.6665 ,

第一主振型为:

φ1={ 0.3332 0.6665 1 }T

将 ?2 ? 1.6665 代入上式,令?2(3)=1,同样可解得: φ2(1)=-0.6665 , φ2(2)=-0.6665 , 第二主振型为: 将

φ2={ -0.6665 -0.6665 1 }T

?3 ? 4.0 代入上式,令?3(3)=1,同样可解得:

第三主振型为: φ3={ 4.0 -3.0 1 }T 或φ3={ 1 -0.75 0.25 }T

(4)刚架的振型图
4 8

1

4

8

1

4

8

0.25

3

7 0.6665

0.6665
3 7

0.75
3 7

2

6 0.3332

0.6665
2 6

2

6

1

1

y 5 x

1

y

5

1

5

x

?

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§3.2 主振型的正交性
?

主振型的正交性是指:在同一体系中,任何两个不同的主 振型向量Xi和Xj(i≠j),都满足下列关系式:

X T MX i ? 0 j

X T KX i ? 0 j

?

主振型的正交性可通过功的互等定理证明。主振型的正交 性说明各振型的能量是相互独立的,不会相互转移。可利 用振型的正交性来校核计算出的主振型向量是否正确。

?

对于标准化的振型向量,也同样具有正交性 :

?iT M? j ? 0

?iT K? j ? 0

?

矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量φi时, 它们的乘 积等于一个数:

? M?i ? Mi
T i
?

Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.

?i K?i ? Ki
T
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例3.

写出图示体系主振型关于质量的正交条件.
m1
φ 11

m1 m2

φ 12

m2

φ 21

φ 22

主振型 1

主振型 2



m1?11?12 ? m2?21?22 ? 0
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例4 . 证明图示梁主振型的正确性。
m
1

m
2

0.5m
3

(a)

4m

4m

4m

1

第一主振型
3.33 6.17

第二主振型
1 1.001 0.716 1 0.45
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1.405

第三主振型

§3.3 多自由度体系自由振动的通解
? ? ?

Y ? X sin( t ? ? ) ? 自由振动微分方程的特解: ? (i ? 1,2, ? n) 它的代表形式是: Yi ? ?i sin( i t ? ? i )
自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合,即 :

Y ? ??iYi ? ??i?i sin(?it ? ?i)
? ?

n

n

?

组合系数ηi和初位相φi可由振动的初始条件确定; 在一般情况下系统振动时,其位移向量中包含了各个主振 型成分,是一个复杂的运动,只有当体系的初始位移和初 始速度满足一定的条件时体系才按主振型振动。 振型向量Y一般可以看成是系统各主振型向量的某种线性 组合: n
Y ? ?1?1 ? ? 2? 2 ? ... ? ? n? n ? ??i? i
i ?1

i ?1

i ?1

振型组合系数的确定:
Y ? ?1?1 ? ? 2? 2 ? ... ? ? n? n ? ??i? i
n

对上式两边左乘 ? M 则: N T T T T T ? j MY ? ?1? j M?i ? ?2? j M?2 ? ? ? ?n? j M?n ? ??i? j M?i
T j

i ?1

?

考虑到振型的正交性, 等式右边的多项式中, 除只有i=j 一项 不等于零,而等于广义质量Mj 外,其余各项均为零。 故 ? T M? T T ?j ? j ? j MY ? ? j? j M? j ? ? j M j Mj
其中广义质量Mj :

i ?1

? ?

M j ? ? M? j
T j

综上所述,根据结构自身的质量矩阵M、刚度矩阵K或柔 度矩阵F,可计算结构的各阶自振频率?i和主振型向量?i , 进一步可计算振型组合系数?i ,最终可求得系统振动时的 振型向量Y。
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多自由度体系自由振动的计算步骤:
? ?

建立体系自身的质量矩阵M: 计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵F:
k12 k22 ? kn2 ? ? ? ? k1n ? k2n? ?? knn? ?
? f11 ?f F ? ? 21 ? ?f ? n1 f12 f22 ? fn2 ? ? ? ? f1n ? f1n ? ?? fnn? ? 0? ?m1 ? m2 ? M ?? ? ? ?0 mn? ? ?

?k11 ?k K ? ? 21 ? ?k ? n1
?

根据频率方程计算结构的各阶自振频率?i 1 K ? ? 2M ? 0 FM ? 2 I
计算结构的主振型向量?i (K ? ? 2M )X ? 0 计算振型的组合系数?j
?

? 0

?

1 ? ? ? FM ? 2 I ?X ? 0 ? ? ?

? ?

?j ?

? T M? j
M
j

M j ? ? j M? j
T

计算系统振动时的振型向量Y。

Y ? ?1?1 ? ? 2? 2 ? ... ? ? n? n ? ??i? i
i ?1
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n

§3.4 能量法计算自振频率
能量法求自振频率是一种*似计算方法。
? 设结构单位杆长的质量为?m,结构中有若干个集中质 量m。 根据结构的边界约束条件和变形特点,选择一 条位移曲线Y(x)作为某一主振型(通常是第一主振 型)的*似曲线,则可按下式求得频率的*似值。

EI[Y " ( x)]2 dx ? ?2 ? i 2 2 ?0 m[Y ( x)] dx ? ? miYi
? 若取结构在自重q(x)作用下的弹性曲线Y(x)作为 振型线,则频率公式为:

l 0

? q( x)Y ( x)dx ? ? l 2 2 ?0 m[Y ( x)] dx ? ? miYi
2

l 0

§3.4 能量法计算自振频率
? 选择变形曲线时应考虑结构的边界条件(位移边界 条件和力的边界条件),其中位移边界条件必须满 足,否则将导致很大的误差; ? 通常取等截面杆的自重q(x)作用下的变形曲线作为 振型曲线Y(x),由于它能较好地满足边界条件,所 得结果的*似程度都较好。

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§3.5 对称性利用
?

?

?

?

?

振动体系的对称性指:结构对称,质量分布对称,动荷 载对称。 对称体系的自由振动或强迫振动计算都可利用对称性简 化; 对称体系的自由振动视为对称振动与反对称振动的叠加, 对两种振动可分别取半结构进行计算; 对称体系的强迫振动: 对称荷载作用时,振动形式对称,取对称半结构计算; 反对称荷载作用时,振动形式反对称; 取反对称半结构 计算。 一般动荷载则应分解为对称与反对称两组分别计算。
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例5. 图示三铰刚架各杆EI=常数,杆自重不计。求自振 频率与主振型。

m l l l

l

1 m/2

1

l

m/2

M1

M2

解:1)利用对称性化为两个单自由度体系。柔度法
1 1 2 2l 3 f11 ? f 22 ? ? ( ? l ? l ? ? l) ? 2 ? EI 2 3 3EI

振型向量:
?1? ?1 ? ? ? ?0? ?0? ?2 ? ? ? ?1?

1 3EI ?1 ? ?2 ? ? 0.5m?11 ml 3

2)不取半结构直接计算。
f11 ? 1 ? ( 1 ? l ? l ? 2 ? l ) ? 4 ? l EI 2 2 3 2 3EI l3 f 22 ? f11 ? f12 ? f 21 ? 0 3EI
?
3

l/2

1

l/2

根据频率方程计算自振频率?i
FM ?
1

M1
l/2

?

2

I ? 0

1

l/2

m l3 ? 1 3EI ? 2 0

0 ml ? 1 3EI ? 2
3

?0
M2

3EI ?1 ? ?2 ? ml 3

?

计算主振型

1
1
第一振型

1

第二振型

振型向量:

?1? ?1 ? ? ? ?0?

?0? ?2 ? ? ? ?1?

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例6. 求图示结构的自振频率及主振型,各杆EI=常数。
l/ 2 解 :两 个 自 由 度 , m/ 2 m/ 2 利用对称性, l 分解为正对 l 称和反对称 M1 两种自由度 l/ 2 l/ 2 M1 l/ 2 l/ 2 振动形式, 取半结构计 (1)正对称的计算(图b) 算。
(a) (a)

m m

(b) (b) l/ 2

1 1

(c) (c)

m/ 2 1 m/ 2 1 l
l

M2 M2

1 1 l l l 2 1 l l 2 l3 ?? ( ? ? ? ? ? ?l ? ? ? ) ? 有? ? EI 2 2 2 2 3 2 2 2 3 8EI

16 EI ml 3

(2)反对称的计算(图c)
1 1 2 1 l 2l l3 ?' ? ( ? l ? l ? l ? ? ? l ? ? ) ? EI 2 3 2 2 3 2 EI



?' ?

4 EI ml 3

自振频率 ? 1 ?

4 EI 16 EI ?2 ? 3 , ml 3 ml

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例7. 求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI =常数。
(a) m EI1=∞ l/ 2 l l/ 2 m (b) m
正对称

(c) m
反对称

解 :将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算 (图b、c)。
3l/ 8 1 3 l/ 8 3l/ 16 1 5l/ 32
l/ 2

1

__ M1

__ M2

__ M

?11 ? ?

M M1 1 1 l l 2 3l 1 l 5l 3 ds ? ? ? ? ?( ? ? ? ) ? EI EI 2 2 2 3 8 3 8 192EI

MM2 1 1 l l 2 3l 1 5l 7l 3 ? 22 ? ? ds ? ? ? ? ?( ? ? ? ) ? EI EI 2 2 2 3 16 3 32 768EI

?1 ?

1 192EI ? m? 11 5m l3 , ? 2 ?

1 m? 22

?

768EI 7ml 3

当ω=ω1时,振型为正对称,则
当ω=ω2时,振型为反对称,则

Y11 ?1 Y21
Y12 ? ?1 Y22

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例8:已知图a刚架受简谐荷载作用,θ=0.6ω,绘出动 力弯矩图Md,并求柱顶最大位移 ymax。
(a) (a) (a)
2 l/ l/ 2

l/ 2 EI EI EI

m m m EI EI EI EI EI EI l ll
F sinθ F sinθt

(b) (b) (b) F I1 F I1 F I1 F sinθt Fsinθttt Fsinθ θ

(c) (c)1 l /2 (c) 11 l /2/2 l l /2 /2 l l /2

(d)

1

Fsin Fsinθθtt Fsinθ t l/ 22 l/ l/ 2

l/l/2 l/22

ll/2/2 l /2

M 11 1 MM

l

M1

3

解:利用对称性取半边结构如图b所示。 柱顶位移 y1 (t ) ? F sin ?t? 1P? FI1?11 惯性力:
FI1 ? ? 1 m l??1 (t ) y 2

(注意:质量应减半)

l3 l3 ? 11 ? ,? 1P? 代入方程,得 12 EI 24EI Fl 3 ml 4 ??1 (t ) y1 (t ) ? sin ?t ? y 24EI 24EI

由于 ? ?

1 ? m? 11

12EI 24EI ? ,代入上式,则方程变为 l ml 4 m ?l3 2

Fl 3 ??1 (t ) ? ? 2 y1 (t ) ? ? 2 y sin ?t 24EI

只考虑稳态振动,设方程的特解

y1 (t ) ? A1 sin?t

Fl 3? 2 25Fl 3 ? 代入方程解得 A1 ? 2 2 24EI (? ? ? ) 384EI 25Fl 3 25Fl 3 所以 y (t ) ? sin ?t , max ? y M图如图f所示。 284EI 384EI
(d) 1 (e) 1/8 F=1 1/8 17/64 (f) 17/64 1/8 33/64 33/64 Md( sinθ t ) Fl 1/8 17/64 17/64

l

M1

3/8

MP ( Fl )

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思考题
1. 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么? 2. 为什么说结构的自振周期是结构的固有属性?

3. 动力位移总是否要比静力位移大一些?
4. 在振动过程中,体系的重力对动力位移是否产 生影响?

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*题:体系的质点位移编号如图所示,每段杆长均 为l,写出体系的动力方程,求出频率及振型。
2方向 1方向

m EI 2m EI EI

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