当前位置: 首页 > >

新人教版(必修5) 等差数列的前n项和精选教学PPT课件

发布时间:

等比数列的 前n项和

铜仁一中

授课人:舒镜霖
1

复*数列的有关概念

数列的第n项 an 与前n项和 Sn 之间的关系

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?an? 的前n项和。

an

?

? ??Sn

S1(n ? 1) ? Sn?1(n ?

2)

2

复*等比数列的有关概念

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一 项的比等于同一个常数(指与n无关的数),这个数列 就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比 通常用字母q表示。

用数学语言表示为

an?1 ??q ?q ? 0?
an

等比数列?an ?的通项公式为

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)
an ? am ? qn?m (am ? q ? 0)

3

引入新课
我们一起回顾一下,在我们学*数列第一节的时候, 我给大家讲了一个关于国际象棋的故事。当时的国王觉 得国际象棋特别好玩,就想奖励象棋的发明者,于是就 问象棋的发明者有什么要求,发明者说:“请在象棋的 第一个格子里放1颗麦粒,第二个格子放2颗麦粒,第三 个格子放4颗麦粒,以此类推,每个格子放的麦粒数都 是前一个格子的两倍,请给我足够的粮食来实现上述要 求”。国王不假思索就欣然答应了他的要求。
我们看国王能不能满足他的要求,由于每个格子里 的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,共有64个 格子,各个格子里的麦粒数依次是:
4

引入新课
1 2 22 23 24 … 263
这一格放 的麦粒可 一对成一 座山!!!
263
5

引入新课
分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍,共有64 格每格所放的麦粒数依次为:
1, 2, 22 , 23, , 263.
它是以1为首项公比是2的等比数列,
麦粒的总数为:
S64 ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ? 263.
6

2 30 - 1 = 1073741823

引入新课

请同学们考虑如何求出这个和? 这种求和
S64 ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ? 的2是63方错. 法位,相就(1)

2S64 ? 2(1? 2 ? 22 ? 23 ? 减?法26!3).

即2S64 ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 26如3 果?1020604粒. 麦粒重为(24)0
克,那么这些麦粒的总质

? 2S ? S 64

? (2
64
?(1? 2

? ?

22 22

? ?

23 23

? ?

2 ? ? 2 ? 2 量4就是7300多亿6吨3 。根据64
统计资料显示,全世界小

)

2麦 是4的 说?年全…产世量界?约都2为要66130亿)00吨多,年就

?S64

?

264

?1 ?

才能生产这么多小麦,国
18446744王0无7论3如7何0是9不5能5实1现6发15 明者的要求的。

? 1.84 ?1019

7

等比数列的前n项和公式的推导1

由等比数列 a1, a2 , a3 , … an , … 这的种前求n项和和
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?的1 ?方法a,n就得
Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? a1qn?2 ? a1q是n?1减错法位!相
qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ? a1qn?1 ? a1qn

Sn ? qSn ? (a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? a1qn?2 ? a1qn?1)

?

a1

? ?

(a1q a1q n

? a1q2 ? ? a1(1?

a1q3 qn)

?当?q=? 1a时1q,n?1等?
比数列的前n

a1q n

)

即(1? q)Sn ? a1(1 当q≠1时, Sn

? ?

qn a1

) (1? q
1? q

n

)

项和是什么?
Sn ? na81

等比数列的前n项和公式的推导2

由等比数列 a1, a2 , a3, … an , … 的定义:

a2 ? a3 ? a4 ? ? an ? q

? a1 a2 a3

an?1

a2 ? a3 ? a4 ? ? an ? q

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1

? ? Sn ? a1 ? q Sn ? an

(1? q)Sn ? a1 ? anq

当q≠1时,

? Sn

?

a1 ? qan 1? q

当q=1时?

9

等比数列的前n项和公式的推导3

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? a1 ? qa1 ? qa2 ? qa3 ? ? ? qan?1 ? a1 ? q(a1 ? a2 ? ? ? an?1 )
? a1 ? q(Sn ? an )
? (1? q)Sn ? a1 ? anq

当q≠1时, 当q=1时?

? Sn

?

a1 ? qan 1? q

Sn ? na1

10

等比数列的前n项和两种公式的关系

当q ? 1时

Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

? ? a1qn ? a1qn?1 q ? anq

Sn

?

a1 ? anq 1? q

当q=1时, Sn ? na1

11

等比数列的前n项公式

?na1

q ?1 ?

综上

? ? Sn

?

? ?

a1

1? qn

? ?

1? q

?

q ?1



Sn

?

??na1 ? a1

?

an

?? 1? q

q

?

q ?1 ? q ?1

12

等比数列的前n项和例题1

例1 求等比数列

1 , 1 , 1 ,? 248

的前8项的和.

解:

? a1

?

1 2

,q

?

1 2

,n

?

8

1

? ?1

?

??

1

8
? ?

? ?

? S8

?

2

?? ? 2 ? 1? 1

??

2

Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

255

?.

256

13

等比数列的前n项和例题2
例2求和

? ?

x

?

?

1 y

? ?

?

? ?

??

x2

?

1 y2

? ? ?

?



?

? ?

xn

?

?

1 yn

? ? ?

? x ? 0, x ?1, y ?1?

分析:上面各个括号内的式子均由两项组成。其中各括号内的前一 项与后一项分别组成等比数列,分别求出这两个等比数列的和, 就能得到所求式子的和。
当x ? 0, x ? 1, y ? 1时

? ? ?
? ?

x

?

1 y

? ?

?

? ?

??

x2

?

1 y2

? ?

?

…?

? ?

?

?

xn

?

1 yn

? ? ?

?

x ? x2 ?…? xn

? ??
?

1 y

?

1 y2

?…?

1 yn

? ? ?

? ? x 1? xn
? 1? x

?

1 y

? ?1

?

?

1 yn

? ? ?

?

1? 1

x ? xn?1 1? x

?

yn y n ?1

?1 ? yn

y

14

现在我们把该题推广一下

? ? ?
? ?

x

?

1 y

? ? ?

?

? ? ?

x2

?

1 y2

? ? ?

?…?

? ? ?

xn

?

1 yn

? ? ?

?

x ? x2 ?…? xn

?

? ? ?

1 y

?

1 y2

?…?

1 yn

? ? ?

当x=0,y=1时 和 ? n

当x ?1, y ?1时 和 ? 2n

当x ?1, y ? 1时

和 ? n ? yn ?1 yn?1 ? yn

当x ? 1, y ? 1时 和 ? x ? xn?1 ? n 1? x
当x ? 0, y ? 1时 和 ? yn ?1
y n?1 ? y n 15

等比数列的前n项和例题3 第一年为5万吨,

例3 某制糖厂今年制糖5万吨,如果*均每年的第产二量年比为上

一年增加10%,那么从今年起,几年内可以使总产5量+5达×到103%0 =

万吨(保留到个位).

5(1+10%)

解: 由题意可知,这个糖厂从今年起,*均每年的产量(万

? ? 吨)组成一个等比数列, 记为 an

?a1 ? 5, q ? 1?10% ? 1.1, Sn ? 30
于是得到 5(1?1.1n ) ? 30.

Sn

?

a1(1? qn ) 1? q

1 ? 1.1

整理后,得 1.1n ? 1.6
n ? lg 1.6 ? 0.2041 ? 5 lg 1.1 0.0414

?lg1.1n ? lg1.6 ?n lg1.1 ? lg1.6

答:5年内可以使总产量达到30万吨.

16

等比数列的前n项和练*1
1. 根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ?的 Sn :

(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;
3? (1? 26 ) ? S6 ? 1? 2 ? 189 .

(3)a1

? 8, q

?

1 ,n 2

? 5;
? S5

?

8?

?
?1?
??

? ? ?

1 2

5
? ? ?

? ? ??

1?

? ? ?

1 2

? ? ?

?

31. 2

2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项的和.
17

等比数列的前n项和练*2-3

2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项的和.

解法一: a1 ? 1, q ? 2,

?S4

?

1? (1? 24 ) 1? 2

? 15.

S10

?

1? (1? 210 ) 1? 2

? 1023

.

从第5项到第10项的和: S10 ? S4 ? 1023 ?15 ? 1008 .

解法二: a1 ? 1, q ? 2,
∴a5 ? 16, a10 ? 512,

Sn

?

a1 ? anq 1? q

把第5项作为新等比数列 的首项,第10项作为末项. 从第1项到第6项的和:

S6

?

16

? 512? 1? 2

2

? 1008

18

课堂小结

? 这堂课主要让大家掌握等比数列前n项和 求和公式及其推导方法.

?na1

? ? Sn

?

? ?

a1

1? qn

? ?

1? q

?

q ?1 ? q ?1

Sn

?

??na1

? ??

a1 ? anq? 1? q

q ?1 ? q ?1

19

等比数列的前n项和作业
P129*题3.5 :1, 2
祝同学们学*愉快, 人人成绩优异!
20

小时候,我可以在母亲的背上无忧无虑的长大,是母亲编织了女儿的梦,点燃了心中那盏灯,伴我走过人生那坎坷的路程。
我想不起病重的母亲是怎样背着我走路,我是怎样在母亲背上长大,可想而知,有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初,做人做事的道理。当时我不懂母亲的心,她的爱她的温柔,她的关怀和牵挂,不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大,当我知道 和读懂母亲的时候,母亲含着眼泪,带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。
我唯一的靠山倒了,但是母亲教会了我在逆境中学会坚强,勇敢地面对困难和失败,适应任何环境而求生存,这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。 母亲虽然走了,可她永远活在我的心里,我永远怀念她,她是我地唯一,无人取代,也是我的最爱,更是难忘的爱!
我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我,还是背着我,我不知道,从小姨妈对那段往事的回忆中,我才知道别人对她的冷眼,天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的,而且经常是湿地;才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁,一个失去父母关爱的小女孩,能在姐姐病重的时候撑起一个家,还带着一个不满周岁的孩子,可想而知,这是多么不容易
的事,每当小姨妈讲起那段往事,我就想起那苦难无助地童年,小姨妈无私的爱,让我永远难忘。小姨妈的人生很苦,很少有人去关她,可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。
我母亲去世后小姨妈也经常照顾我,关心我。她不但关爱我,还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时,我的三姨妈由于有病去世了,留下四个孩子,最小的才两岁,她为了照顾这四个孩子,就和我三姨父结婚,把他们养大成人,现在孩子们都有了自己的家, 可是小姨妈由于劳累过度,而病倒了,现在病在床上不能自理,当我今年回家看到小姨妈时,我很惭愧,她为我们付出的太多了,可我们又给了她什么,她看到我时那含泪的笑容,我才体会到母爱的无私和伟大,也许她不求我们什么,能常回家看看足矣,可我们却做不到,
当我们爱自己的孩子的时候,可曾想过,我们把爱孩子的十分之一去爱母亲,她就足矣,往往这一点也做不到,说句心里话,我们欠母亲的无法补偿,更无法用语言表达。 我有这两位母亲,虽然我的人生很不幸,但我有她们给我的无私的爱,我永远是幸福的,她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里,有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天,他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天,猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿,受伤的兔子拼命地逃生,猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子,兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了,只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说:“你真没用,连一只受伤的兔子都追不
到!” 猎狗听了很不服气地辩解道:“我已经尽力而为了呀!” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了,兄弟们都围过来惊讶地问它:“那只猎狗很凶呀,你又带了伤,是怎么甩掉它的呢?” 兔子说:“它是尽力而为,我是竭尽全力呀!它没追上我,最多挨一顿骂,而我若不竭尽全力地跑,可就没命了呀!” 泰勒牧师讲完故事之后,又向全班郑*涫碌爻信担核悄鼙吵觥妒ゾぢ硖R簟分械谖逭碌降谄哒碌娜磕谌荩脱胨ノ餮磐嫉摹疤照搿备咚吞渭用夥丫鄄突帷 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字,而且不押韵,要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情,但是几乎所有的人都浅尝则止,望而却步了。 几天后,班中一个11岁的男孩,胸有成竹地站在泰勒牧师的面前,从头到尾地按要求背诵下来,竟然一字不漏,没出一点差错,而且到了最后,简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚,就是在成年的信徒中,能背诵这些篇幅的人也是罕见的,何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时,不禁好奇地问:“你为什么能背下这么长的文字呢?”
这个男孩不假思索地回答道:“我竭尽全力。” 16年后,这个男孩成了世界著名软件公司的*濉K褪潜榷じ谴摹 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示:每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的,一般人的潜能只开发了2-8左右,像爱因斯坦那样伟大的大科学家,也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能,就可以背诵400本教科书,可以学完十几所大 学的课程,还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说,我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹,仅仅做到尽力而为还远远不够,必须竭尽全力才行。




友情链接: